泰勒公式是一种用于将任意函数表示为无限级数的方法，其基本形式为：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

其中，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数。

在泰勒公式中，我们可以使用前$n$项级数来近似表示函数$f(x)$在点$a$附近的值，即：

$$f(x) \approx \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

而余项则表示了我们使用前$n$项级数近似表示函数$f(x)$时，所产生的误差。余项的一般形式为：

$$R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

其中，$R_n(x)$表示余项，$f(x)$为原函数，$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$为前$n$项级数的和。

余项的具体形式取决于所使用的泰勒公式的版本和函数$f(x)$的性质。常见的泰勒公式余项包括拉格朗日余项和佩亚诺余项。

拉格朗日余项的一般形式为：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n$$

其中，$\xi$为$a$和$x$之间的某一点，$n$为级数的项数。

佩亚诺余项的一般形式为：

$$R_n(x) = o((x-a)^n)$$

其中，$o((x-a)^n)$表示当$x$趋近于$a$时，余项$R_n(x)$的阶数比$(x-a)^n$更低。

需要注意的是，余项的存在是泰勒公式的一个重要特点，因为它使得我们可以对使用泰勒公式进行近似的精度进行估计和控制。