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探究定积分求椭圆面积-的新思想---图形转化思想
淡然一笑 2024-06-06 22:12:37
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淡然一笑 2024-06-07 09:54:04

往往我们会使用定积分求解一些图形的面积,但在求解过程中会遇到这样那样的问题,一些导函数很难看出它的原函数,当然换元法是一种很有效的办法,可是我们中学阶段所涉及的参数换元还很少,超出了教学大纲,我们就必须找到一种新的方法简化我们的运算。这里我们就来介绍一下图形转化。

操作方法

关于椭圆和圆,我们观察他们的图形发现他们不是一个自变量对应一个函数值,所以想要利用定积分求面积就必须学会转化成几个部分求面积,比如中心在原点的椭圆,它在坐标轴四个象限的面积是相同的,我们就可以转化成求其中一个象限的面积。

现在我们以:椭圆方程为x^2/16+y^2/9=1,求椭圆面积为例。来说明一下椭圆方程的转化问题。

接下来我们研究椭圆面积S椭圆,很显然椭圆面积是对第一象限积分值的四倍。我们来化简一下看有没有什么发现。

关于这个积分,以我们目前学的知识无法看出它的原函数,所以求解又出现了阻碍,那么有没有方法转化成我们学过的知识来求解呢?我们观察这个式子积分的部分很熟悉,好像和圆有某种联系。

圆心在原点,半径为4的圆的面积为16π。它的四分之一为4π。根据四分之一圆的面积可以求得椭圆的面积3×4π=12π。观察椭圆方程发现长半轴a=4,b=3,这和面积中的3和4,是巧合吗?还是有一些联系?

看积分部分,可以表示为以原点为圆心,以a为半径的圆的四分之一。接下来我们推推看一般椭圆的面积公式。

这里我们利用图形转化思想,将积分转化成了圆面积的相关知识,不仅求得了椭圆的面积,还推理出了椭圆面积的一般表达式。这对我们以后的解题有很大的帮助。掌握这种思想会大大减少我们的计算,有事半功倍的作用。

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