在分居期间，虽然父亲并不直接抚养孩子，但仍有支付孩子抚养费的义务。根据我国《民法典》的相关规定，父母对未成年子女有教育、保护的义务，当父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。