泰勒公式是一种将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的方法。具体来说，设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处具有 $n$ 阶导数，则泰勒公式的表达式为：

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

其中，$f^{(k)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $k$ 阶导数，$\xi$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的某个值。

这个公式的含义是，我们可以用 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的导数来逼近 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的取值。具体来说，我们可以将 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的导数依次代入上式中，得到一个无穷级数，这个级数就是 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的泰勒级数展开式。

当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x=a$ 处没有导数，此时泰勒公式简化为：

$$f(x)=f(a)+\frac{f^{(1)}(\xi)}{1!}(x-a)$$

这个公式就是函数的一阶泰勒展开式。当 $n=1$ 时，即 $f(x)$ 在 $x=a$ 处有一阶导数，此时泰勒公式简化为：

$$f(x)=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(\xi)}{2!}(x-a)^2$$

这个公式就是函数的二阶泰勒展开式。依此类推，我们可以得到函数的更高阶泰勒展开式。