达布定理是微积分中的一个重要定理，它描述了连续函数在闭区间上的平均值与全局平均值之间的关系。该定理可以用积分的方法来证明。

假设$f(x)$是一个在闭区间$[a,b]$上的连续函数，我们可以将该区间分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{b-a}{n}$。在每个小区间内取一个任意点$x_i$，则该点的函数值为$f(x_i)$。我们可以将$f(x_i)$的平均值定义为：

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)$$

而$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的平均值为：

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$$

根据积分的中值定理，存在一个$\xi\in[a,b]$，使得：

$$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$$

因此，$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的平均值可以表示为：

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx=\frac{1}{b-a}f(\xi)(b-a)=f(\xi)$$

根据拉格朗日中值定理，对于任意的$i\in\{1,2,\cdots,n\}$，都存在一个$\eta_i\in[x_{i-1},x_i]$，使得：

$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f'(\eta_i)\Delta x$$

将上式两边相加并除以$n$，得到：

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f'(\eta_i)\Delta x$$

根据极限定义，当$n\to\infty$时，$\Delta x\to 0$，因此：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]=\int_a^b f'(x)dx$$

根据$f(x)$的连续性，$f'(x)$也是连续的，因此$\int_a^b f'(x)dx$存在。将上式代入平均值的定义中，得到：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)=f(\xi)+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]=f(\xi)+\int_a^b f'(x)dx$$

即：

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx=f(\xi)+\frac{1}{b-a}\int_a^b f'(x)dx$$

这就是达布定理的表述。