达布定理是关于可积性的一个重要定理，它告诉我们，如果一个函数在一个有限区间上是有界的且满足达布条件，那么它就是可积的。下面我们来详细解释一下达布定理如何证明可积。

首先，我们需要了解什么是达布条件。达布条件是指，对于任意给定的正数ε，存在一种分割方式，使得每个子区间的长度都小于δ，并且每个子区间上的上下积分之差都小于ε。这里的上下积分是指，将函数在子区间上的上下和分别计算出来，然后取它们的极限。如果一个函数满足达布条件，那么我们就称它是达布可积的。

现在我们来证明达布定理。假设f是一个在[a,b]上有界的函数，且满足达布条件。我们需要证明，f是可积的，也就是说，存在一个数I，使得对于任意给定的ε>0，存在一个数δ>0，使得对于任意一种分割方式P，如果它的每个子区间的长度都小于δ，那么这个分割方式下的上下和之差都小于ε。

我们可以按照以下步骤来证明：

1．首先，根据达布条件，我们可以找到一个分割方式P，使得每个子区间的长度都小于δ，并且每个子区间上的上下积分之差都小于ε/2。

2．接下来，我们可以将f在每个子区间上进行分别积分，并将这些积分值加起来，得到一个近似的积分值S。由于f是有界的，所以每个子区间上的积分值都是有限的，因此S也是有限的。

3．然后，我们可以计算出f在整个区间[a,b]上的上下积分值的差，记为U-L。由于f满足达布条件，所以U-L小于ε/2。

4．最后，我们需要证明，S是f在[a,b]上的一个近似积分值。为此，我们可以将S和f在[a,b]上的积分值I进行比较。由于f是有界的，所以它在[a,b]上是可积的，即存在一个数I，使得对于任意给定的ε>0，存在一个数δ>0，使得对于任意一种分割方式P，如果它的每个子区间的长度都小于δ，那么这个分割方式下的上下和之差都小于ε。因此，我们可以找到一个分割方式Q，使得每个子区间的长度都小于δ，并且f在Q下的上下和之差都小于ε/2。由于S是按照分割方式P计算出来的，在每个子区间上的积分值都是f在该子区间上的上下和的中点值，因此，我们可以将S和f在Q下的上下和进行比较。由于每个子区间的长度都小于δ，所以S和f在Q下的上下和之差都小于ε/2。又由于f在Q下的上下和之差也小于ε/2，因此，S和I的差值也小于ε，即S是f在[a,b]上的一个近似积分值。

综上所述，我们证明了达布定理。