咳嗽咳的右边肋骨疼痛应挂呼吸内科。呼吸内科属于内科的一个分支科室，是大内科范围之内分的更细的一个科目，主要是治疗呼吸系统疾病为主的科室，例如上呼吸道感染、支气管炎、肺炎、肺气肿、支气管扩张、肺脓肿、肺心病、哮喘和肺肿瘤等一些疾病。因此当咳嗽咳的右边肋骨疼痛时，应挂呼吸内科，并完善相关的专科检查，例如胸片、胸部CT和肺功能等等，待明确病因后再制定治疗方案。